星期三, 一月 03, 2007

推荐几本学ANSYS的好书

这里要推荐四本学ANSYS的好书。这当中前两本是我经常翻看的,另外两本是我今天在一个ANSYS用户那儿看到,觉得很好,对于一些ANSYS高级用户可能会有用。这些书都是英文的,我给出了Google book search和Amazon的链接。这些书的价格都是很贵的,如果要买的话,需要有老板赞助。

当然最好的ANSYS学习参考书是ANSYS的在线帮助。

1. Finite Element Analysis: Theory and Applications with ANSYS, Second Edition (有限元分析:理论及ANSYS应用,第二版)
作者:Saeed Moaveni

Google book search链接:无,没有收录
Amazon链接:http://www.amazon.com/Finite-Element-Analysis-Theory-Applications/dp/0131112023

简介:这本书从最基本的有限元分析方法讲起,涵盖了基本的有限元单元的推导(truss,beam,plane结构单元和1d,2的传热单元),并且还简单介绍了模态分析。这本书适合初学者(包括没有任何有限元分析基础的人)。书里面的例子简单易懂,推导循序渐进,并且理论推导结合简单的手工计算实例和ANSYS计算实例。手工计算实例和ANSYS计算实例的讲解非常详尽。是一本学习有限元基础知识和ANSYS基本操作的好书。


2. An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method Approach (计算流体力学简介:有限体积法)
作者:H. Versteeg, W. Malalasekra

Google book search链接:无,没有收录
Amazon链接:http://www.amazon.com/Introduction-Computational-Fluid-Dynamics-Approach/dp/0582218845

简介:这本书同样是一本入门书籍,非常适合于初学者。和上面一本一样,这本书对基本概念的阐述非常详尽和清楚,公式推导过程清晰易懂。该书简介CFD的基本思想,和湍流模拟的基本概念。该书对有限体积法的离散方法的作了详细介绍。事实上,认真研读本书足以编出基于结构化网格的简单CFD程序。

题外话:这本书其实不是ANSYS参考书,但是由于上面的两本书分别是我学FEA和CFD的启蒙书,加上他们的编排比较适合初学者,所以一起放在一起。对于通常的FEA和CFD分析,掌握这些基本知识可能就足够了。另外,对于CFD,陶文铨教授的《数值传热学》我也认真看过。可惜一直没有能买一本。《数值传热学》是我看到的国内教授写的最好最有分量的一本书。听说陶老师刚刚被评为中科院院士,恭喜。另外,这部CFD书的作者H. Versteeg, W. Malalasekra中的一个是我一个同事的毕业论文导师。据他说,这两个人一个好,一个一般,哈哈。

3. The Finite Element Method and Applications in Engineering Using ANSYS (有限元方法及ANSYS的工程应用)

作者:Erdogan Madenci, Ibrahim Guven

Google book search链接:无,没有收录
Amazon链接:http://www.amazon.com/Finite-Element-Method-Applications-Engineering/dp/0387282890

简介:上面我说过学习ANSYS最好的参考书是ANSYS的在线帮助。而如果翻阅一下这本书的目录,你会发现这本书的结构和ANSYS的在线帮助有几分相似。通常的有限元书籍,可能会花很多篇幅讨论有限元方程的建立,但是对于工程中常用的非线性材料模型,接触分析等很少有分析。因此,这本书适合对ANSYS有一定了解,向知道一些进阶功能的朋友。


4. Fatigue Life Prediction of Solder Joints in Electronic Packages with ANSYS (ANSYS在电子封装焊点疲劳分析中的应用)
作者:Erdogan Madenci, Ibrahim Guven, Bahattin Kilic

Google book search链接:http://books.google.com/books?vid=ISBN1402073305&id=E7HOfOQsgpEC
Amazon链接:http://www.amazon.com/Prediction-Electronic-Packages-International-Engineering/dp/1402073305

这本书对于电子组件焊点在温度循环(thermal cycling)条件下的疲劳寿命的分析非常有用。焊点疲劳分析是一种常见的电子封装有限元模拟。该书不仅回顾了焊点疲劳分析的理论,而且提供了非常用户友好的宏。通常做温度循环分析,需要做submodeling。而且电子组件的结构非常复杂,需要很长的时间(几个星期)才能生成高质量的六面体网格。该书提供的宏和图形界面模块,很好的解决这样的问题。用户只需输入焊点以及其他部件的大小尺寸,系统会自动生成六面体网格,并且进行温度循环分析。并且有专门的单元类型切换,submodeling,材料定义,后处理模块,非常强大和人性化。

这本书的价格虽然很贵(186美元),但是该书所附的宏,绝对是物超所值。

星期一, 一月 01, 2007

ANSYS/Fluent年会论文下载

最近安世亚太飞昂软件都相继把他们的年会论文放在网上,供免费下载。

2006 年ANSYS用户大会暨公司十年大庆

官方网站:http://www.ansys.com.cn/10th/

论文下载:http://www.ansys.com.cn/10th/paper.html

2006中国FLUENT用户大会

官方网站:http://www.fluentchina.com/cfd_index.html

论文下载:http://www.fluentchina.com/news_news_20061220.html

另外一个消息是,ANSYS11.0到目前还没有发布,看来台湾的虎门科技是摆了乌龙了。最近几日,在打开的workbench时,左边的新闻栏会显示,ANSYS和IE7的兼容性问题,当中隐约提到ANSYS11.0会在二月发布。这也算是正常的,现在是圣诞假期,怎么会发布新版呢?

FDS、Smokeview、PyroSim入门教程

FDS是Fire Dynamics Simulator(火灾动力学模拟器)的缩写。官方网站是http://www.fire.nist.gov/fds。FDS是一个专注于火灾模拟的CFD求解器,而Smokeview则是它的后处理器。FDS本身是没有图形化前处理器的,也就是用户要先编辑命令定义要求解的问题。FDS是由美国NIST(National Institute of Stardard and Technology,美国国家标准与技术研究院)开发的免费(对的,免费,因此你可以下载安装)CFD软件。Pyrosim是我在网上找到的(Google里搜索关键字FDS fire,右边会显示赞助商链接)。它是第三方开发的图形化FDS前处理器。PyroSim不是免费软件,但是提供30天的试用。对于学习者来说,30天应该是足够了。

想在网上找一些关于FDS的中文资料,但是系统的介绍很少。这个博客(人间四月芳菲尽)对FDS有零星的介绍。可惜的是,有一段时间没有更新了。在sogou里面搜索Pyrosim,只有屈指可数的几个结果。看来这个软件的应用还不是很广泛。

FDS的下载地址是:http://www.fire.nist.gov/fds/download/fdsall_407a.exe。在官方网站上,还有其它相关信息,比较有用的是FDS/Smokeview example,当中有超过150个算例,可以让初学者了解一下软件的功能。其他的文档在官方网站或者安装目录下都可以找到。其中,User's gudie(用户手册)是介绍软件的基本使用,而Technical reference guide(技术参考手册)是介绍求解器的模型及背景理论,需要一定的CFD基础以及相当长的时间消化。

对于FDS的input file(输入文件),这里就不多做解释了,一是因为本人并不熟悉这些功能,而是因为PyroSim提供了图形化前处理功能,把用户从枯燥的命令行中解放了出来。Pyrosim的官方网站是http://www.pyrosim.com/。用户提交了基本注册信息后,会收到一封含有下载地址的email。安装文件大概有45M。实际上,该安装文件不光有Pyrosim主程序和帮助,还有FDS/smokeview的主程序及文档。也就是说,如果你决定使用PyroSim,是不用单独下载FDS的。

下面我们要来做两个模拟,一个是Pyrosim Example Guide里面的第一个例子(Chapter 1. Air Movement),然后修改这个例子,做一个隧道火灾的模拟。

1. 运行一个FDS例子

1.1 启动PyroSim(并打开Example Guide, Chapter 1)。具体就不多说了,开始>程序>…………

下面是PyroSim启动时的截图,上面有中文“火”的写法,但是看起来似乎是源自日文汉字(Kanji)的火。但是开发PyroSim的Thunderhead engineering是一家位于美国的公司。

1.2 建立网格

选择Model > Edit Grid ... 在跳出的面板上点New。把网格的边界设置为Min X = 0,Max X = 10,Min Y = 0,Max Y = 10,Min Z = 0,Max Z = 10。同时把网格数量设为X cells = 20,Y cells = 20,Z cells = 20。如下图所示:

在FDS里面,基本形状只能是长方体的(尽管通过长方体的组合,能模拟复杂的几何形状)。网格也只能是正交网格(点确定后可以看到)。这个例子是模拟风洞内的燃烧,风洞尺寸为10米*10米*10米。每边划分成20个网格,总共有8000个网格。在FDS中,由于求解器的特殊要求,每边划分的单元数通常要求是2,3或5的倍数。

点击OK后,网格就生成了,如下图所示:

1.3 定义粒子

这里的粒子并不是通常CFD软件里的拉格朗日粒子,只是为了后处理方便而定义的示踪粒子。选择Model > Edit Particles ...,然后点New。不要选Particle Have Mass,这样粒子没有质量,仅是示踪粒子。选中Color Particles During Animation,使用默认的颜色,红色。这样在结果中会有红色的示踪粒子。

1.4 建立面

实际上,在建立网格的时候,我们已经得到了计算模型。这里的面是用来定义边界条件。要注意的是,这里仅仅定义边界条件,而没有给模型中的面指定边界条件。也就是说只定义边界上的物理条件,但并没有和模型中的边界联系起来。

定义入口边界。Model > Edit Surface Properties ...,点New。Surface name是BLOW,使用INERT作为模板。选择surface type为 "Fan/Wind”。然后下面会有很多选项。系统定义的表面类型都有明确的物理意义,还是比较好懂的。Fan/Wind里可以定义入口空气的温度和速度。为了便于区分,把Color选成蓝色。Air Temperature = 20 C,Specify Normal Velocity = -1.0 m/s。-1.0 m/s代表气流速度为1m/s,方向为进入计算域(+1.0m/s为出)。第三个标签下,选中Emit Particles,Particle Type = PART。最后点OK。各步骤的截图如下:

在这里例子里面,只需要定义BLOW这一个面,其余的面可以用系统定义的来表示。

1.5 定义边界条件

这里是真正指定表面的边界条件。

定义入口。选择Model > New Vent ...,在Specification标签下,Description = Vent Blow,Type = BLOW,Lies in the plane X = 0.0,Min Y = 3,Max Y = 7,Min Z = 3,Max Z = 7。在X=0平面上,有4*4的范围为BLOW的边界条件。点OK,离开界面。具体操作和操作后的结果为:

定义出口。步骤和上面的基本一样,Model > New Vent ... > New。Description = Vent Open,Type = Open,Lies in Plane X = 10,Min Y = 3, Max Y = 7,Min Z =3,Min Z = 7。在和入口相对的面上,有一个4*4的通风口。

1.6 定义切面

FDS使用LES模型模拟湍流,会产生大量的瞬时数据。FDS里面需要定义切面,只有切面数据会保存。

Output > Slices ...。XYZ plane = Y,Plane value = 5,Gas Phase Quantity = Velocity,Use Vector = No。OK。在Y=5平面上,保存速度值,但是不保存矢量。

1.7 设定模拟参数

FDS > Simulation Parameters ...。Simulation Title = Wind Tunnel,Specify Duration = 60 s,Initial Time Step = 0.15 s。数值模拟总时长为60秒,初始时间步长为0.15秒(后面的时间步长有系统自动决定)。OK。

1.8 运行FDS

FDS > Run FDS ... 先要保存一个*.data文件(自行命名)。然后FDS开始求解,求解过程如下图所示:

1.9 检查结果

FDS算完60秒后,会自动弹出SmokeView窗口。 在上面点右键Load/Unload > Slice File > VELOCITY > *Y=5.0。会显示前面定义的切面上的速度云图。

在上面点右键Load/Unload > Particle file > *SMOKE/WATER。会显示粒子轨迹。

至此,我们已经完成了FDS里面的第一个练习。下面可以修改上面的例子,做一个隧道内火灾的模拟。

2. 隧道火灾模拟

隧道内的火灾模拟是一个很常见的FDS应用。如果在隧道内发生火灾,如果通风系统没有工作,燃烧产生的烟会向两边对称扩散,引起能见度的下降,和对隧道内人员的健康威胁。通常,需要在隧道入口装风扇,把烟吹向出口,这样烟雾就不会向入口扩散。烟雾向上游的扩散成为是逆流(back layer flow)。入口风速大,逆流长度就小,或者没有逆流;入口风速小,逆流长度就长。逆流长度刚好为零的入口风速成为是临界速度(critical velocity)。FDS广泛使用于逆流的研究。

这里要做的是一个60*16*6的隧道。入口速度是3m/s,入口温度是25C。在底部有一块8*8的燃烧区域,火灾大小为100MW。为了简化问题没有模拟过程,而是直接把100兆瓦的热量直接分布在64平方米的面积上,折合1562.5kw/m2。

2.1 继续前面的模型

下面要修改前面建立的模型。如果模型没有打开,可以打开保存的*.psm或者*.data文件。

2.2 建立网格

在左边的树形目录上,双击Grids > GRID。在弹出的面板上,修改Max X = 60,Max Y = 16,Max Z = 6,X cells = 120,Y cells = 32,Z cells = 12。OK。点OK后,可能模型不在屏幕中央,可以点击工具栏上右数倒数第二个图标(Reset View to All Visible Objects)重置显示。步骤和结果如下所示:

2.3 建立面

这里需要建立两个面。第一个面是入口,修改前面的BLOW条件;第二个面是FIRE,需要创建。
在左边双击Surfaces > BLOW。Properties > Air Temperature = 25 C。Air Flow > Specify Normal Velocity = -3 m/s。

Model > Edit Surface Properties ... > New...,Surface Name = FIRE,OK。Surface Type = Non-Flammable Solid。Boundary Conditions > Boundary Types = Fixed Heat Flux,Heat Flux = 1562.5,OK。

2.4 定义边界条件

按照上面的描述,有三个边界条件需要定义。

双击Model > Vent Blow。把整个X=0平面设成是入口。Min Y = 0,Max Y = 16,Min Z = 0,Max Z = 6。OK。

双击Model > Vent Open。把整个X=60平面设成是出口。Lies in the plane X = 60,Min Y = 0,Max Y = 16,Min Z = 0,Max Z = 6。OK。

新建一个Fire Region边界条件,在主菜单上选择:Model > New Vent。Description = Vent Fire,Type = FIRE,Lies in the plane Z = 0,Min X = 26,Max X = 34,Min Y = 4,Max Y = 12。OK。

过程及结果如下:

2.5 定义切面

在Y=8平面定义一个切面。Output > Slices ...。把Plane Value改成8。在Y=8平面定义一个新的切面,来显示温度。因为我们没有模拟燃烧,根据温度场可以大概知道烟雾的分布。XYZ Plane = Y,Plane Value = 8,Gas Phase Quantity = TEMPERATURE,Use Vector? = No。

2.6 设定模拟参数

模拟的总时长为60秒。FDS > Simulation Parameters ...。Simulation Title = Tunnel Fire,Specify Duration = 60,Initial Time Step = 0.1。OK。

2.7 运行FDS

FDS > Run FDS ...。先保存一个合适的*.data文件。然后求解器会启动。求解过程大约为15分钟(在我的电脑上)。求解结束后,会自动跳出SmokeView。

1.9 检查结果

在自动弹出SmokeView窗口上面点右键Load/Unload > Slice File > TEMPERATURE > *Y=8.0。会显示前面定义的切面上的温度云图。

1.10 分析

在上面的温度云图中,我们可以看到,在入口速度为3m/s的时候,隧道内有非常显著的回流。也就是说3m/s的入口速度,不足以阻止烟气向上游扩散。有兴趣的朋友可以增加入口速度,看看这个问题的临界速度是多少。我试出的临街速度是4.5m/s左右。

另外一个问题是这个结果准确吗?理论上来说LES和k-e相比,有很大的优越性,但是由于FDS使用是有限差分的方法,而且没有检查收敛性(explicit),通常情况下只能作为参考。比如这个例子,有兴趣的朋友,可以用Fluent/CFX建模算一下,Fluent/CFX给出的临界速度应该在2.7m/s左右。差别还是相当大的。另外根据我的测试(和一组条件不同的实验数据的比较),基于k-e的Fluent/CFX结果通常会稍稍低估临街速度。但是总体而言,还是Fluent/CFX的结果更加可信。值得提醒的是,用Fluent/CFX的时候,一定要记得加上浮力修正。

星期一, 十二月 25, 2006

什么是64位计算?

64位(64 bit)高性能计算是当前一个很热的话题,很多机构已经配置了、或将要升级至64位计算。但是实际上“64位”这个概念对我来说还是很模糊的。当然还有容易令人混淆的字(word),字节(byte),位(bit)的概念。

下面是我从互联网上找到的关于64位计算的一些资料:

1. Wikipedia: 64-bit

2. Microsoft: Overview of Windows XP Professional x64 Edition

3. IT168: 64位技术

对于64位技术,有各种不同的定义,Wikepedia的定义为:如果没有特别的描述,通常“64位” 计算机架构是指CPU整型寄存器有64比特的数据宽度。“64位”架构支持长度为64比特的整型数据。(Without further qualification, however, "64-bit" computer architecture generally has integer registers that are 64 bits wide, which allows it to support (both internally and externally) 64-bit "chunks" of integer data.)

64位计算主要优点是它能够支持更大的内存。由于内存地址是由整型数表示的。更大的整型数便意味着更大的内存支持。理论上,32位整型寄存器支持2^32个内存地址,即4GB,而64位整型寄存器支持2^64个内存地址,即16TB。实际上,由于其他的限制,Windows 32位操作系统对单个进程支持2GB内存,目前使用的Windows x64操作系统支持128GB内存。

我们并不能简单的认为64位的计算性能是32位的两倍。通常64位的性能会稍稍高于32位,但同时占用的内存也会稍稍多一些。笼统地说,64位计算极大地扩展了内存地址,但是和计算速度,内存使用(比如浮点数长度,单精度/双精度)并没有显著关系。

另外,要使用64位技术必要要有64位处理器、64位操作系统和64位软件。三者缺一不可。而现在64位应用软件相当匮乏,虽然最新版本的CAE软件中很多都实现了对64位计算的支持。

对64位操作系统而言,1 word = 64 bit, 1 byte = 8 bit。因此1 word = 8 byte。1GB内存可以换算成1024 * 128个字:1 Giga byte = 1024 Mega byte = 1024 * 1024 byte =1024 * 128 word。

对32位操作系统而言,1 word = 4 byte,1 GB = 1024 * 256 word。

圣诞快乐

圣诞快乐!并附上一个朋友用ANSYS Workbench做的图片(一个简单但有趣的应力分析)。

星期六, 十二月 23, 2006

CD-adapco发布STAR-CD 4.0.2

新闻链接

从新闻稿看,增加的新功能并不是太多,比如前处理功能的更新(尤其是多面体网格功能)。有趣的是,Fluent 6.3和CFX的多面体网格都是基于常用的四面体或六面体网格,在求解器内部自动重新组合。也就是说不需要专门的网格划分软件。但是CD-adapco的多面体网格解决方案似乎要“笨”一些,需要专门的多面体网格划分软件。这样做的优点是什么呢?
当中重要(或者是最主要)的新功能应该是多物理场(mutli-physics)功能。虽然多物理场已经不是一个新概念(ANSYS Multiphysics),但是这次好像是第一次由CFD开发商提出来。 STAR-CD 4.0.2将可以进行固体应力分析和固体融化、固化分析。不知道STAR-CD的应力分析模块现在有哪些功能,是基于有限体积法还是基于有限元方法。

有限元法、有限差分法和有限体积法的区别

昨天在网上看到一篇关于有限差分,有限元和有限体积法区别的文章。现在贴在下面,也许对有兴趣的朋友有帮助(我对文章作了一些编辑)。

1. 有限差分法(Finite difference method)

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒(Taylor)级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等, 其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。

2. 有限元法(Finite element method)

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为

(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元 具有规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。
(5)总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加,形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件,一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值。

3. 有限体积法(Finite volume method)

有限体积法(Finite Volume Method)又称为控制体积法。其基本思路是:将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有一个控制体积;将待解的微分方程对每一个控制体积积分,便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分,必须假定值在网格点之间的变化规律,即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来,有限体积法属于加权剩余法中的子区域法;从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之,子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义,就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理,如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 限体积法得出的离散方程,要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足,对整个计算区域,自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法,例如有限差分法,仅当网格极其细密时,离散方程才满足积分守恒;而有限体积法即使在粗网格情况下,也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言,有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律(既插值函数),并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值,这与有限差分法相类似;但有限体积法在寻求控制体积的积分时,必须假定值在网格点之间的分布,这又与有限单元法相类似。在有限体积法中,插值函数只用于计算控制体积的积分,得出离散方程之后,便可忘掉插值函数;如果需要的话,可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。